【演習】近似計算

物理の道標『近似計算』の講義内容に関連する演習問題です。 講義編を未読の方は問題を解く前にご一読ください。

近似計算物理の問題を解いているとたまに遭遇する近似計算。「どうしてその近似が成り立つかわからないけど，とりあえず指示に従って計算しとくか」という人も多いのでは？...

問題

以下の問題では，次の近似式を利用せよ。
・微小量の2乗 ≒ 0
・|x|≪1のとき，(1+x)ⁿ ≒ 1+nx

[Level.1]
|x|≪1とし，次の式をxの1次式に近似せよ。
（ア）\((1+x)^4\)
（イ）\((1-x)^6\)
（ウ）\(\sqrt{1+x}\)
（エ）\(\frac{1}{(1+x)^3}\)
（オ）\(\frac{1}{\sqrt[n]{1+x}}\)（nは自然数）

[Level.2]
a,bはともに正の数であり，bはaに比べて非常に小さいとする。 (a+b)²の近似として正しいものは次のうちどれか。
（a）a+b²
（b）a+2b
（c）a²+ab
（d）a²+2ab

[Level.3]
x,yはともに正の数であり，|x-y|がxやyに比べて十分に小さいとする。 \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ \textstyle{≒}\ \frac{2}{xy}\)と近似できることを示せ。

この下に答えを載せていますが，まずは自力で考えてみましょう。

答え

[Level.1]
（ア）\(1+4x\)
（イ）\(1-6x\)
（ウ）\(1+\frac{1}{2}x\)
（エ）\(1-3x\)
（オ）\(1-\frac{1}{n}x\)

[Level.2]
（d）

[Level.3]
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}+\frac{2}{xy}\)と式変形し，第1項を通分すると微小量の2乗になるので，第2項だけが残る。